앞의 글에서 이어집니다.
https://boardlife.co.kr/bbs_detail.php?tb=board_community&bbs_num=65339
오전에 올린 글에 거만이 님이 단판 게임 모델보다 반복 게임 모델이 적합할 것 같다는 의견을 주셨습니다. 반복 게임 모델을 도입하는 취지는 많은 의사결정이 반복되는 게임의 과정을 더 정교하게 모사하기 위함입니다. 다만 n차 반복 게임 모델은 분석이 매우 복잡해진다는 한계가 있습니다. 그래서 반복 게임 모델은 아니지만, 그 취지를 반영해 변형된 모델을 제시합니다.
반협력 게임에서 플레이어들은 수 라운드에 걸쳐 많은 의사결정을 내리지만, 결국 중요한 것은 공동 패배라는 파국이 일어나는 분기점입니다. 그 전까지 플레이어들은 보통 경쟁게임처럼 플레이하다가 파국이 다가오면 비로소 협력게임과 같은 양상이 나타날 것으로 예상할 수 있습니다.
이제 그 시점까지의 과정과 결과를 뭉뚱그려 플레이어 1~3이 대칭적인 상태가 아니라 플레이어 1-2-3 순서로 앞서고 있는 비대칭 상황으로 단순화하도록 하겠습니다. 즉, 플레이어 1이 가장 이기고 있고, 플레이어 3이 가장 지고 있는 상황입니다.
이 파국의 분기점에서 각 플레이어에게는 '협력'과 '배신'의 두 가지 순수 전략이 존재하고, 둘 이상이 배신하면 모두가 패배하는 것은 앞의 모델과 같습니다. 다만 모두 협력할 경우 기존에 이기고 있던 플레이어 1이 개별 승리하게 되며, 한 명은 배신하고 나머지 둘은 협력하는 경우 똑같이 배신자가 개별 승리한다고 가정합니다.
변형 2형 반협력 게임에서 플레이어 1의 성과
이 경우 플레이어 1의 성과는 위와 같이 나타낼 수 있습니다. 이때 협력은 약우월 전략입니다. 즉, 플레이어 1에게 협력은 항상 배신보다 못하지 않고, 때로는 더 낫습니다. 따라서 플레이어 1에게 합리적의 전략은 협력입니다.
플레이어 1이 협력하는 부분게임에서 플레이어 2의 성과
이때 플레이어 2, 3의 협력 확률 p를 구하면 다음과 같습니다.
이전보다 협력 확률이 상당히 낮아진 것을 알 수 있습니다. 지고 있는 상황이라 협력의 유인이 줄었으니 당연한 결과이죠.
일반(파랑) 및 변형(빨강) 2형 반협력 게임에서 r(=GW/IW)에 따른 협력 확률(p) 비교
공동 승리 확률 역시 다소 감소했지만, 그렇게 큰 차이는 아닙니다. 플레이어 2, 3에게는 협력의 유인이 줄었지만, 플레이어 1에게는 늘었기 때문입니다. 아래 그래프에서 볼 수 있듯이, 원래보다 공동 승리 확률이 더 높은 경우도 있습니다. 이는 개별 승리가 집단 승리보다 훨씬 더 가치 있게 평가될 경우에 해당합니다.
일반(파랑) 및 변형(빨강) 2형 반협력 게임에서 r(=GW/IW)에 따른 공동 승리 확률 비교
결론은 변형된 모델에서도 결과는 '크게 다르지 않다'입니다.
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